\subsection{直角三角形全等的判定}\label{subsec:czjh1-3-13}

要判定两个直角三角形全等，除了可以应用一般三角形全等的判定公理和判定定理外，还有下面的判定定理。

\begin{dingli}[斜边、直角边定理]
    有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
\end{dingli}（可以简写成“\zhongdian{斜边、直角边}” 或 “$\bm{HL}$”）。


已知：在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$  中，
$\angle ACB = \angle A'C'B' = Rt \angle$，
$AB = A'B'$， $AC = A'C'$ （图 \ref{fig:czjh1-3-51}）。

求证； $Rt \triangle ABC \quandeng Rt \triangle A'B'C'$。

\zhengming 把 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 拼在一起，
使相等的直角边 $AC$ 和 $A'C'$ 重合，
并且使点 $B$ 和 $B'$  在 $A'C'$  的两旁。

$\because$ \quad \begin{zmtblr}[t]{}
    $\angle A'C'B' = Rt \angle$， \\
    $\angle A'C'B = \angle ACB = Rt \angle$，
\end{zmtblr}

$\therefore$ \quad $\angle B'C'B = 2 Rt \angle$。

$\therefore$ \quad $B'$、$C'$、$B$ 的同一条直线上。

在 $\triangle A'B'B$ 中，

$\because$ \quad $A'B' = AB = A'B$，

$\therefore$ \quad $\angle B' = \angle B$ （等边对等角）。

在 $\triangle ABC$ 和 $\triangle A'B'C'$ 中，

$\angle ACB = \angle A'C'B'$， $\angle B = \angle B'$， $AB = A'B'$，

$\therefore$ \quad $\triangle ABC \quandeng \triangle A'B'C'$ （$AAS$）。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{8cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-51}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-51}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-52}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-52}
    \end{minipage}
\end{figure}


这个定理的条件，实际上是已知两边和其中一边的对角对应相等，前面我们已经讲过，
具备这样的条件的两个三角形不一定全等。但是，如果这个角是个直角，那么这两个三角形就会全等了。

\liti 已知： $\triangle ABC$ 中， $D$ 是 $BC$ 的中点， $DF \perp AB$，
$DE \perp AC$， 垂足分别是 $F$、$E$， $DF = DE$ （图 \ref{fig:czjh1-3-52}）。

求证： $AB = AC$。

\zhengming 在 $Rt \triangle DBF$ 和 $Rt \triangle DCE$ 中，

\qquad $DB = DC$， $DF = DE$，

$\therefore$ \quad $Rt \triangle DBF \quandeng Rt \triangle DCE$ （$HL$）。

$\therefore$ \quad $\angle B = \angle C$。

$\therefore$ \quad $AB = AC$ （等角对等边）。



\liti 已知斜边和一条直角边，求作直角三角形。

已知：线段 $c$ 和 $a$ （图 \ref{fig:czjh1-3-53}）.

求作：$Rt \triangle ABC$，使它的斜边 $AB = c$，一条直角边 $BC = a$。

\zuofa 1. 作线段 $BC = a$。

2. 过点 $C$ 作直线  $CD \perp BC$。

3. 以点 $B$ 为圆心，$c$ 为半径作弧，交 $CD$ 于点 $A$。

4. 连接 $AB$。

$\triangle ABC$ 就是所求的直角三角形。

\zhengming $\because$ \quad $CD \perp BC$，

$\therefore$ \quad $\angle C = Rt \angle$。

又 $AB = c$， $BC = a$，

所以 $\triangle ABC$ 为所求的三角形。

\textbf{讨论：} 因为 $Rt \triangle$ 中，斜边一定要大于直角边，所以  $c \leqslant a$ 时，此题无解。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-53}
        \caption{}\label{fig:czjh1-3-53}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh1-ch3-subsec13-lx-02}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}


\begin{lianxi}

\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xxt[\xxtsep]{两条直角边对应相等的两个直角三角形是否全等？为什么？}

    \xxt{两个锐角对应相等的两个直角三角形是否全等？为什么？}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{已知：如图， $CE \perp AB$， $DF \perp AB$， $AC \pingxing AB$，且 $AC = DB$。 \\
    求证： $CE = DF$。
}

\xiaoti{求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形。}

\end{lianxi}


